Question

【題目】大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門(mén)選修課供學(xué)生任意選修（也可不選），假設(shè)學(xué)生是否選修哪門(mén)課彼此互不影響．已知某學(xué)生只選修甲一門(mén)課的概率為0.08，選修甲和乙兩門(mén)課的概率為0.12，至少選修一門(mén)的概率是0.88．
（1）求該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別是多少？
（2）用ξ表示該學(xué)生選修的課程門(mén)數(shù)和沒(méi)有選修的課程門(mén)數(shù)的乘積，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z

由題意知 ，

解之得 ，

∴該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別是0.4，0.6，0.5．

（2）解：依題意知ξ的可能取值為0，2，

∴P（ξ=0）=xyz+（1﹣x）（1﹣y）（1﹣z）=0.4×0.5×0.6+（1﹣0.4）（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.24，

∴P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）=0.76

（或：僅僅選甲的概率為0.08，僅僅選乙概率為0.18，僅僅選丙的概率為0.12，合計(jì)為0.38，同樣僅僅不選甲、僅僅不選乙、僅僅不選丙的概率和也為0.38，故P（ξ=2）=0.38+0.38=0.76）

則ξ的分布列為

ξ	0	2
P	0.24	0.76

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×0.24+2×0.76=1.52．

【解析】（1）設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式列出方程組，能求出該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率．（2）依題意知ξ的可能取值為0，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用離散型隨機(jī)變量及其分布列，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱(chēng)表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)分布列即可以解答此題．