已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
6
3
，一條準(zhǔn)線方程為x=
3
6
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)G，H為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OG⊥OH．
①當(dāng)直線OG的傾斜角為60°時(shí)，求△GOH的面積；
②是否存在以原點(diǎn)O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請(qǐng)求出該定圓方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（1）因?yàn)闄E圓的離心率e=
6
3
，一條準(zhǔn)線方程為x=
3
6
2
．
所以
c
a
=
6
3
，
a2
c
=
3
6
2
，a2=b2+c2，…（2分）
解得a=3，b=
3
，
所以橢圓方程為
x2
9
+
y2
3
=1． …（4分）
（2）①由
y=
3
x
x2
9
+
y2
3
=1
，解得
x2=
9
10
y2=
27
10
，…（6分）
由
y=-
3
3
x
x2
9
+
y2
3
=1
得
x2=
9
2
y2=
3
2
，…（8分）
所以OG=
3
10
5
，OH=
6
，所以
S △GOH
=
3
15
5
．…（10分）
②假設(shè)存在滿足條件的定圓，設(shè)圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH
因?yàn)镺G2+OH2=GH2，故
1
OG2
+
1
OH2
=
1
R2
，
當(dāng)OG與OH的斜率均存在時(shí)，不妨設(shè)直線OG方程為：y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，可得xG2=
9
1+3k2
，yG2=
9k2
1+3k2

∴OG2=
9+9k2
1+3k2

同理可得OH2=
9+9k2
3+k2

∴
1
OG2
+
1
OH2
=
4
9
=
1
R2
，∴R=
3
2

當(dāng)OG與OH的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，可得
1
OG2
+
1
OH2
=
4
9
=
1
R2

故滿足條件的定圓方程為x2+y2=
9
4
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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