Question

已知：M={a|函數(shù)y=2sinax在[]上是增函數(shù)}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數(shù)解}，設(shè)D=M∩N，且定義在R上的奇函數(shù)在D內(nèi)沒有最小值，則m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先確定出集合MN的范圍，求出集合D的范圍．再根據(jù)在D內(nèi)沒有最小值，對函數(shù)的最小值進行研究，可先求其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，確定出函數(shù)的最小值在區(qū)間D的左端點取到即可，由于直接研究有一定困難，可將函數(shù)變?yōu)閒（x）==，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=，將研究原來函數(shù)沒有最小值的問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)沒有最大值的問題，利用導(dǎo)數(shù)工具易確定出新函數(shù)的最值，從而解出參數(shù)m的取值范圍．
解答：解：∵M={a|函數(shù)y=2sinax在[]上是增函數(shù)，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有實數(shù)解}，所以可得N={b|1＜b≤2}
∴D=M∩N=（1，]
∵是定義在R上的奇函數(shù)
∴f（0）=0可得n=0
∴f（x）=，又在D內(nèi)沒有最小值
∴f（x）==，
若m≤0，可得函數(shù)f（x）在D上是減函數(shù)，函數(shù)在右端點處取到最小值，不合題意
若m＞0，令h（x）=，則在D內(nèi)沒有最小值可轉(zhuǎn)化為h（x）在D內(nèi)沒有最大值，下對h（x）在D內(nèi)的最大值進行研究：
由于h′（x）=1-，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函數(shù)h（x）在（0，）是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)≥時，即m≥時，函數(shù)h（x）在D上是減函數(shù)，不存在最大值，符合題意
當(dāng)≤1時，即m≤1時，函數(shù)h（x）在D上是增函數(shù)，存在最大值h（），不符合題意
當(dāng)1＜＜時，即1＜m＜時，函數(shù)h（x）在（1，）是減函數(shù)，在（，）上是增函數(shù)，必有h（1）＞h（）成立，才能滿足函數(shù)h（x）在D上沒有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合題意
綜上討論知，m的取值范圍是m＞，
故答案為m＞
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負情況之間的關(guān)系，三角函數(shù)的周期求法及對三角函數(shù)圖象特征的理解，指數(shù)函數(shù)的值域及集合的運算．考查了轉(zhuǎn)化的思想及分類討論的思想，計算的能力，本題綜合性強涉及到的知識點較多，屬于綜合題中的難題．