【題目】一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則稱這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)．質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的．設(shè)由所有質(zhì)數(shù)組成的無窮遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列1，3，5，7，…中所有不大于的項(xiàng)的和為．

（Ⅰ）求和；

(Ⅱ)判斷和的大小，不用證明；

（Ⅲ）設(shè)，求證：，，使得．

【答案】(Ⅰ)11,36 (Ⅱ)見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意直接求得p5和f（5）；

（Ⅱ）分別取n＝1，2，3，4，5．求得Sn和f（n），比較大小得結(jié)論；

（Ⅲ）取值驗(yàn)證n≤4時(shí)，命題成立．當(dāng)n≥5時(shí)，設(shè)k是使得k2≤Sn成立的最大自然數(shù)，只需證（k+1）2＜Sn+1．可得1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+pn，結(jié)合（Ⅱ）可知，當(dāng)n≥5時(shí)，Sn＜f（n），得到pn＞2k﹣1，從而pn+1＞2k+1．進(jìn)一步得到．

(Ⅰ)，

；

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，，；

當(dāng)時(shí)，，，．

所以當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，，．

不難看出，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，，，，，

所以當(dāng)時(shí)，，使得；

當(dāng)時(shí)，，使得；

當(dāng)時(shí)，，使得；

當(dāng)時(shí)，，使得

所以時(shí)，命題成立．

當(dāng)時(shí)，設(shè)是使得成立的最大自然數(shù)，只需證．

因?yàn)?/span> ，

，

由(Ⅱ)可知，當(dāng)時(shí)，，

所以，從而

所以，即．

綜上可知，命題成立．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機(jī)的情況，分別在高一和高二兩個(gè)年級各隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機(jī)時(shí)間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，將使用手機(jī)時(shí)間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)迷”.

（I）將頻率視為概率，估計(jì)哪個(gè)年級的學(xué)生是“手機(jī)迷”的概率大？請說明理由.

（II）在高二的抽查中，已知隨機(jī)抽到的女生共有55名，其中10名為“手機(jī)迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)迷”與性別有關(guān)？

非手機(jī)迷

手機(jī)迷

合計(jì)

男

女

合計(jì)

附：隨機(jī)變量（其中為樣本總量）.

參考數(shù)據(jù)

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司培訓(xùn)員工某項(xiàng)技能，培訓(xùn)有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓(xùn)1小時(shí)，周日測試；方式二：周六一天培訓(xùn)4小時(shí)，周日測試．公司有多個(gè)班組，每個(gè)班組60人，現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓(xùn)，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓(xùn)后測試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如下表，其中第一、二周達(dá)標(biāo)的員工評為優(yōu)秀．

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

（1）在甲組內(nèi)任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率；

（2）每個(gè)員工技能測試是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立，以頻率作為概率.

（i）設(shè)公司員工在方式一、二下的受訓(xùn)時(shí)間分別為、，求、的分布列，若選平均受訓(xùn)時(shí)間少的，則公司應(yīng)選哪種培訓(xùn)方式？

（ii）按（i）中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)圖象上不同兩點(diǎn)，處的切線的斜率分別是，，規(guī)定（為線段的長度）叫做曲線在點(diǎn)與點(diǎn)之間的“彎曲度”，給出以下命題：

①函數(shù)圖象上兩點(diǎn)與的橫坐標(biāo)分別為和，則；

②存在這樣的函數(shù)，其圖象上任意不同兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；

③設(shè),是拋物線上不同的兩點(diǎn)，則 ；

④設(shè), 是曲線（是自然對數(shù)的底數(shù)）上不同的兩點(diǎn)，則．

其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，，.

（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；

（2），討論函數(shù)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查.已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)的時(shí)間的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)好下表：

超過1小時(shí)

不超過1小時(shí)

男

20

8

女

12

m

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間是否超過1小時(shí)與性別有關(guān)？

（Ⅲ）以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查6名學(xué)生，試估計(jì)6名學(xué)生中一周參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間超過1小時(shí)的人數(shù).

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲，乙，丙，丁四位同學(xué)對這四件參賽作品預(yù)測如下：

甲說：“是或作品獲得一等獎”； 乙說：“ 作品獲得一等獎”；

丙說：“ 兩件作品未獲得一等獎”； 丁說：“是作品獲得一等獎”．

評獎揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是_________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列描述中不正確的是（ ）

A. 與去年同期相比2018年第一季度五個(gè)省的GDP總量均實(shí)現(xiàn)了增長

B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省

C. 2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)

D. 去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】正五邊形的對角線分別與對角線、交于點(diǎn)、，對角線分別與對角線、交于點(diǎn)、，對角線與對角線交于點(diǎn). 設(shè)由圖2中的10個(gè)點(diǎn)、、、、、、、、、和線段構(gòu)成的等腰三角形的集合為.

（1）求中元素的數(shù)目；

（2）若將這10個(gè)點(diǎn)中的每個(gè)點(diǎn)任意染為紅、藍(lán)兩種顏色之一，問是否一定存在中的一個(gè)等腰三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同色？

（3）若將這10個(gè)點(diǎn)中的任意個(gè)點(diǎn)染為紅色，使得一定存在中的一個(gè)等腰三角形，其三個(gè)頂點(diǎn)同為紅色，求的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案