Question

已知曲線C的方程為y²=4x，過原點作斜率為1的直線和曲線C相交，另一個交點記為P₁，過P₁作斜率為2的直線與曲線C相交，另一個交點記為P₂，過P₂作斜率為4的直線與曲線C相交，另一個交點記為P₃，…，如此下去，一般地，過點P_n作斜率為2ⁿ的直線與曲線C相交，另一個交點記為P_n+1，設點P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（1）指出y₁，并求y_n+1與y_n的關系式（n∈N^*）；
（2）求{y_2n-1}（n∈N^*）的通項公式，并指出點列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向哪一點無限接近？說明理由；
（3）令a_n=y_2n+1-y_2n-1，數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，設b_n=

1

3 4 Sn+1

，求所有可能的乘積b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用曲線的相交關系，聯(lián)立方程組求解；
（2）由（1）得出y_2n-1-y_2n-3=-(

1

4

)n-2 （n≥2），利用累加法求通項公式；
（3）借助矩陣研究并所有可能的乘積b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

解答： 解：（1）y₁=4---------------1分
設P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1），由題意得

y 2 n =4xn y 2 n+1 =4xn+1 yn+1-yn xn+1-xn =2n

，----------------2分
解得y_n+1+y_n=4•(

1

2

)n．------------------------------------------------4分
（2）分別用2n-3、2n-2代換上式中的n得

y2n-2+y2n-3=4•( 1 2 )2n-3 y2n-1+y2n-2=4( 1 2 )2n-2

⇒y_2n-1-y_2n-3=-2•(

1

2

)2n-3=-(

1

4

)n-2  （n≥2）------------------------6分
又y₁=4，y_2n-1=

8

3

+

4

3

(

1

4

)n-1（n∈N^*），----------------------------------8分
∵

lim

n→∞

y_2n-1=

8

3

，∴點列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向點（

16

9

，

8

3

）無限接近-------10分
（3）∵a_n=y_2n+1-y_2n-1=-(

1

4

)n-1，∴S_n=-

4

3

•[1-(

1

4

)n]，-------------------11分
bⁿ=4ⁿ，b_ib_j=4^i+j  （1≤i≤j≤n）．--------------------------------12分
將所得的積排成如下矩陣：
A=

41+1 41+2 41+3 … 41+n   42+2 42+3 … 42+n     43+3 … 43+n       … …         4n+n

，設矩陣A的各項和為S．
在矩陣的左下方補上相應的數(shù)可得B=

41+1 41+2 41+3 … 41+n 42+1 42+2 42+3 … 42+n 43+1 43+2 43+3 … 43+n       … … 4n+1 4n+2 4n+3 … 4n+n

，
矩陣B中第一行的各數(shù)和S₁=4²+4³+…+4ⁿ⁺¹=

16

3

(4n-1)，
矩陣B中第二行的各數(shù)和S₂=4³+4⁴+…+4ⁿ⁺²=

64

3

(4n-1)，
…
矩陣B中第N行的各數(shù)和S_n=4ⁿ⁺¹+4ⁿ⁺²+…+4ⁿ⁺ⁿ=

4n+1

3

(4n-1)，--------15分
從而矩陣B中的所有數(shù)之和為S₁+S₂+…+S_n=

16

9

(4n-1)---------------16分
所有可能的乘積b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和
S=

1

2

[

16

9

（4ⁿ-1）²-（4²+4⁴+…+4²ⁿ）]+（4²+4⁴+…+4²ⁿ）
=

42n+3-5•4n+2+16

45

．-----------------------------------------18分

點評：考查直線與曲線的交點問題的處理方法，以及數(shù)列求和的方法，借助矩陣研究數(shù)列問題的方法．