Question

已知函數(shù)f(x)=loga(

x2+1

+x)（其中a＞1）．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）判斷

f(m)+f(n)

m+n

（其中m，n∈R且m+n≠0）的正負號，并說明理由；
（3）若兩個函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上恒滿足|F（x）-G（x）|＞2，則稱函數(shù)F（x）與G（x）在閉區(qū)間[p，q]上是分離的．試判斷y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）與g（x）=a^x在閉區(qū)間[1，2]上是否分離？若分離，求出實數(shù)a的取值范圍；若不分離，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題（1）先研究函數(shù)的定義域，看定義域是否關于0對稱，然后再研究解析式，比較f（-x）與f（x），看它們相等還是相反數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷出函數(shù)的奇偶性；（2）利用函數(shù)的奇偶性將

f(m)+f(n)

m+n

函數(shù)值的差經(jīng)及對應自變量的差的形式，然后通過對函數(shù)的單調(diào)性的研究，得到本題結論；（3）利用兩函數(shù)“分離”的定義，通過參變量分離、換元后，求出所得函數(shù)的最值，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵

x2+1

+x＞|x|+x≥0，
∴函數(shù)y=f（x）的定義域為實數(shù)集R；
又f(x)+f(-x)=loga(

x2+1

+x)+loga(

x2+1

-x)=loga(x2+1-x2)=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．

（2）∵a＞1，
∴f(x)=loga(

x2+1

+x)在[0，+∞）上遞增，以下給出證明．
證明：任取0≤x₁＜x₂，
設u1=

x12+1

+x1，u2=

x22+1

+x2，
則u1-u2=

x12-x22

x12+1 + x22+1

+(x1-x2)
=(x1-x2)(

x1+x2

x12+1 + x22+1

+1)＜0，
∴0＜u₁＜u₂，即0＜

u1

u2

＜1，f(x1)-f(x2)=loga

u1

u2

＜0．
又f(x)=loga(

x2+1

+x)為奇函數(shù)，
∴f（-n）=-f（n）且f(x)=loga(

x2+1

+x)在（-∞，+∞）上遞增．
∴m+n=m-（-n）與f（m）+f（n）=f（m）-f（-n）同號，
∴

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
∴當a＞1時，

f(m)+f(n)

m+n

＞0．

（3）∵f-1(x)=

1

2

ax-

1

2ax

，x∈R，
∴|

1

2

ax-

1

2ax

-ax|＞2在區(qū)間[1，2]上恒成立，
即

1

2

|ax+

1

ax

|＞2，
∴ax+

1

ax

＞4在區(qū)間[1，2]上恒成立，
令a^x=t
∵a＞1，a^x=t∈[a，a²]，t+

1

t

在t∈[a，a²]遞增，
∴(t+

1

t

)min=a+

1

a

＞4，
解得a＞2+

3

；
∴a∈(2+

3

，+∞)．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)單調(diào)性的應用、參變量分離求函數(shù)最值，本題綜合性強，運算量較大，屬于中檔題．