Question

（本小題滿分12分）

將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．

   （Ⅰ）求證：DE⊥AC；

   （Ⅱ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；

   （Ⅲ）直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，不存在請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）以A為坐標原點AB,AD,AE所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系

   則,,

   做BD的中點F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且

 又  ，所以C的坐標為

  ，

    

故DE⊥AC                                                     　　　  ………4分

（Ⅱ）設平面BCE的法向量為 則

    即

令x=1得    又                        　　 ………6分

設平面DE與平面BCE所成角為，則

  .                            　………8分

(III)假設存在點M使得CM∥面ADE，則

,  得     　………10分

又因為，  所以

因為CM∥面ADE，則 即

 得

故 點M為BE的中點時CM∥面ADE.                                   　 ………12分

 

【解析】略