Question

7．已知AC，BD為圓O：x²+y²=9的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，$\sqrt{2}$），則四邊形ABCD的面積的最大值為15．

Answer 1

分析 由圓的方程找出圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=3，設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，再由M的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理得到d₁²+d₂²=OM²，由M和O的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OM²，進(jìn)而得到d₁²+d₂²的值，再由圓的半徑，弦心距及弦長的一半，由半徑的值表示出|AB|與|CD|的長，又四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相垂直，得到其面積為兩對(duì)角線乘積的一半，表示出四邊形的面積，并利用基本不等式變形后，將求出的d₁²+d₂²的值代入，即可得到面積的最大值．

解答 解：∵圓O：x²+y²=9，
∴圓心O坐標(biāo)（0，0），半徑r=3，
設(shè)圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，
∵M(jìn)（1，$\sqrt{2}$），
則d₁²+d₂²=OM²=1²+（$\sqrt{2}$）²=3，
又|AC|=2$\sqrt{9-{bt3qa8v_{1}}^{2}}$，|BD|=2$\sqrt{9-{mq194rm_{2}}^{2}}$
∴四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=2$\sqrt{9-{bxjzwvi_{1}}^{2}}$•$\sqrt{9-{7cla2is_{2}}^{2}}$≤18-（d₁²+d₂²）=18-3=15，
當(dāng)且僅當(dāng)d₁² =d₂²時(shí)取等號(hào)，
則四邊形ABCD面積的最大值為15．
故答案為：15．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的求法，以及基本不等式的運(yùn)用，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．