【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的菱形，且，側面為等邊三角形，且與底面垂直， 為的中點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意取CD中點O，則AO⊥CD，PO⊥底面ABCD，分別以OD、OA、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可得相關點的坐標，由可得；

（Ⅱ）設直線與平面所成角為，求出直線的方向向量和面的法向量，根據(jù)即可得解.

試題解析：

由底面為菱形且，∴， 是等邊三角形，

取中點，有，

∴為二面角的平面角， ∴．

分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖， 　　　

則．

（Ⅰ）由為中點， ∴

∴

（Ⅱ）由， ，∴ ，

∴ 平面的法向量可取

， 設直線與平面所成角為，

則．

即直線與平面所成角的正弦值為 ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在區(qū)間（﹣1，3﹣a）內的圖象上存在兩點，在這兩點處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P是圓O：x2+y2=1與x軸正半軸的交點，半徑OA在x軸的上方，現(xiàn)將半徑OA繞原點O逆時針旋轉 得到半徑OB．設∠POA=x（0＜x＜π）， ．
（1）若 ，求點B的坐標；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值，并求此時x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點P在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列四個結論：
①三棱錐A﹣D1PC的體積不變；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1 ．
其中正確的結論的個數(shù)是（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f（x）=x3+x，x∈R，當0≤θ≤π時，f（mcosθ）+f（sinθ﹣2m）＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，則 的取值范圍為 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】第26屆世界大學生夏季運動會將于2011年8月12日到23日在深圳舉行 ，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。將這30名志愿者的身高編成如右所示的莖葉圖（單位：cm）：

若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔任“禮儀小姐”。

（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

（2）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學期望。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線C過點A（﹣ ，1），且與x2﹣3y2=1有相同的漸近線．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）過雙曲線C的一個焦點作傾斜角為45°的直線l與雙曲線交于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，鄭州市面向全市征召義務宣傳志愿者. 從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)是: .

（Ⅰ）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在歲的人數(shù)；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動，再從這10名志愿者中選取3名擔任主要負責人. 記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

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