Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（a∈R，a≠0），g（x）=x²+x．
（1）求函數(shù)h（x）=alnx-

a(x-1)

x+1

•g（x）的單調(diào)區(qū)間，并確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）證明不等式 

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

＜ln

n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得h（x）=alnx-ax²+ax，（x＞0），h′(x)=a(

1

x

-2x+1)，(x＞0)=-

2a(x-1)(x+ 1 2 )

x

，由此根據(jù)a的范圍進(jìn)行分類討論，能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）f′(x)=

1

x

-

a[x+1-(x-1)]

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．
（3）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）內(nèi)遞增，由此利用累加法能證明

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

＜ln

n+1

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（a∈R，a≠0），g（x）=x²+x，
h（x）=alnx-

a(x-1)

x+1

•g（x），
∴h（x）=alnx-ax²+ax，（x＞0）…（1分）
則h′(x)=a(

1

x

-2x+1)，(x＞0)
=

a(2x2-x-1)

x

=-

2a(x-1)(x+ 1 2 )

x

，…（2分）
（i）若a＞0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，
∴（0，1）為h（x）的增區(qū)間，（1，+∞）為h（x）的減區(qū)間．…（3分）
極大值為h（1）=aln1-a+a=0，
∴h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=1．
（ii）若a＜0，則當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
∴（0，1）為h（x）的減區(qū)間，（1，+∞）為h（x）的增區(qū)間．
極小值為h（1）=aln1-a+a=0，…（4分）
∴h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x=1．
綜上所述，
當(dāng)a＜0時(shí)，（0，1）為h（x）的減區(qū)間，（1，+∞）為h（x）的增區(qū)間，h（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，（0，1）為h（x）的增區(qū)間，（1，+∞）為h（x）的減區(qū)間，h（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．…（5分）
（2）f′(x)=

1

x

-

a[x+1-(x-1)]

(x+1)2

=

1

x

-

2a

(x+1)2

=

x2+(2-2a)x+1

x(x+1)2

，x＞0．…（6分）
由f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知?x∈（0，+∞），f′（x）≥0恒成立．
則x²+（2-2a）x+1≥0，?x∈（0，+∞）恒成立．…（7分）
由二次函數(shù)的圖象開口向上，過定點(diǎn)（0，1），
得a-1≤0或

a-1＞0 △≤0

．…（8分）
則a≤1或

a-1＞0 (2-2a)2-4≤0

，則a≤1或

a＞1 0≤a≤2

，得a≤2．
可以驗(yàn)證當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
故a≤2．…（9分）
（3）證明：由（2）知當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
而f（1）=ln1-

2(1-1)

1+1

=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，即lnx＞

2(x-1)

x+1

，x＞1…（10分）
令x=1+

1

n

，n∈N^*，則ln（1+

1

n

）＞

2(1+ 1 n -1)

1+ 1 n +1

，…（11分）
則ln

n+1

n

＞

2

2n+1

，
∴l(xiāng)n

n

n-1

＞

2

2n-1

，ln

n-2

n-3

＞

2

2n-3

，…，ln

3

2

＞

2

5

，ln

2

1

＞

2

3

，
以上n個(gè)式子累加，得：
ln

n+1

n

+ln

n

n-1

+…+ln

3

2

+ln2＞

2

2n+1

+

2

2n-1

+…+

2

5

+

2

3

，…（12分）
則ln（

n+1

n

•

n

n-1

×…×

3

2

×2）＞2（ 

1

2n+1

+

1

2n-1

+…+

1

5

+

1

3

），
則ln（n+1）＞2（

1

2n+1

+

1

2n-1

+…+

1

5

+

1

3

）…（13分）
則

1

2

ln(n+1)＞

1

2n+1

+

1

2n-1

+…+

1

5

+

1

3

，
故

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

＜ln

n+1

（n∈N^*）．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求解，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法的合理運(yùn)用．