Question

已知數列{an}的通項公式為an=

n

n+a

(n，a∈N*)．
（1）若a₁，a₃，a₁₅成等比數列，求a的值；
（2）當k（k≥3且k∈N^*）時，a₁，a₂，a_k成等差數列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據a_n的通項公式本別求得a₁，a₃，a₁₅，再根據等比中項的性質，可知a₁a₁₅=（a₃）²，進而求得a．
（2）根據等差中項的性質可知a₁+a_k=2a₂，化簡可得（k-3）a=2，再利用k，a∈N^*求得k和a．

解答：解：（1）a1=

1

1+a

，a3=

3

3+a

，a15=

15

15+a

，a₁，a₃，a₁₅成等比數列，
∴a₁a₁₅=（a₃）²，∴a=0或a=9
∵a∈N^*，∴a=9．
（2）a滿足條件，a1=

1

1+a

，a2=

2

2+a

，ak=

k

k+a

，a₁，a₂，a_k成等差數列，
∴a₁+a_k=2a₂，化簡得（k-3）a=2
∵k，a∈N^*，∴a=1時，k=5或a=2時，k=4．

點評：本題主要考查了等比中項和等差中項的應用．屬基礎題．