Question

設函數(shù)f(x)=log_a(x－3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖像上的點時，點Q(x－2a,－y)是函數(shù)y=g(x)圖像上的點.
(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式；
(2)若當x∈［a+2,a+3］時，恒有|f(x)－g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.

Answer 1

(1) g(x)=log_a (2) a的取值范圍是0＜a≤

(1)設點Q的坐標為(x′,y′),
則x′=x－2a,y′=－y. 即x=x′+2a,y=－y′.
∵點P(x,y)在函數(shù)y=log_a(x－3a)的圖像上，
∴－y′=log_a(x′+2a－3a),即y′=log_a,∴g(x)=log_a. 
(2)由題意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,
又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,                                            
∵|f(x)－g(x)|=|log_a(x－3a)－log_a|
=|log_a(x²－4ax+3a²)|·|f(x)－g(x)|≤1,
∴－1≤log_a(x²－4ax+3a²)≤1,
∵0＜a＜1,∴a+2>2a f(x)=x²－4ax+3a²在［a+2,a+3］上為減函數(shù)，
∴μ(x)=log_a(x²－4ax+3a²)在［a+2,a+3］上為減函數(shù)，
從而［μ(x)］_max=μ(a+2)=log_a(4－4a),［μ(x)］_min=μ(a+3)=log_a(9－6a),于是所求問題轉化為求不等式組的解. 
由log_a(9－6a)≥－1解得0＜a≤,
由log_a(4－4a)≤1解得0＜a≤,
∴所求a的取值范圍是0＜a≤.