定義在D上的函數(shù)f(x)，如果滿足：，常數(shù)M＞0，都有|f(x)|≤M成立，則稱f(x)是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．

(Ⅰ)試判斷函數(shù)在[1，3]上是不是有界函數(shù)？請給出證明；

(Ⅱ)若已知質點的運動方程為，要使在t∈[0，＋∞]上的每一時刻的瞬時速度是以M＝1為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)∵，當時，．

　　∴在[1，3]上是增函數(shù)．

　　∴當時，≤≤，即－2≤≤26．

　　∴存在常數(shù)M＝26，使得，都有≤M成立．

　　故函數(shù)是[1，3]上的有界函數(shù)．

　　(Ⅱ)∵．由≤1，得≤1

　　∴

　　令，顯然在上單調遞減，

　則當t→＋∞時，→1．∴

　　令，顯然在上單調遞減，

　　則當時，　∴

　　∴0≤a≤1；

　　故所求a的取值范圍為0≤a≤1


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．
已知函數(shù)f（x）=1+a•（
1
2
）x+（
1
4
）x；g（x）=
1-m•x2
1+m•x2

（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）值域并說明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)？
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知m＞-1，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界，已知函數(shù)f（x）=1+x+ax2
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x； g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

（1）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知m＞-1，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數(shù)f（x），若存在距離為d的兩條直線y=kx+m1和y=kx+m2，使得對任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，則稱函數(shù)f（x）（x∈D）有一個寬度為d的通道．給出下列函數(shù)：①f(x)=
1
x
，②f（x）=sinx，③f(x)=
x2-1
，其中在區(qū)間[1，+∞）上通道寬度可以為1的函數(shù)有（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如右圖所示，定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對?x∈D，常數(shù)A，都有f（x）≥A成立，則稱函數(shù)f（x）在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界．（提示：圖中的常數(shù)A可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)或零）
（1）試判斷函數(shù)f(x)=x3+
48
x
在（0，+∞）上是否有下界？并說明理由；
（2）已知某質點的運動方程為S(t)=at-2
t+1
，要使在t∈[0，+∞）上的每一時刻該質點的瞬時速度是以A=
1
2
為下界的函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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