Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．
已知函數f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x；g（x）=

1-m•x2

1+m•x2

（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）值域并說明函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數？
（Ⅱ）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）已知m＞-1，函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將a=1代入f（x）可得f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，利用指數函數的單調性判斷出f（x）在（-∞，0）上是單調遞減函數，即可求得f（x）＞f（0），從而得到f（x）的值域，根據有界函數函數的定義，即可判斷出f（x）不是有界函數；
（Ⅱ）根據有界函數的定義，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用參變量分離轉化為-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，令t=2^x，則h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，問題轉化為求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函數單調性的定義，分別判斷出函數h（t）和p（t）的單調性，即可求得最值，從容求得a的取值范圍．
（Ⅲ）將函數g（x）=

1-m•x2

1+m•x2

變形為g（x）=-1+

2

m•x2+1

，對參數m進行分類討論，當m＞0時，確定函數g（x）的單調性，根據單調性可得g（x）的取值范圍，從而確定|g（x）|的范圍，利用有界函數的定義，轉化為|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范圍，即可求得T（m）的取值范圍，同理研究當m=0和當-1＜m＜0時的情況，綜上所求范圍，即可求得T（m）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
∴當a=1時，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，
∵y=(

1

4

)x和y=(

1

2

)x在R上是單調遞減函數，
∴f（x）在R上是單調遞減函數，
∴f（x）在（-∞，0）上是單調遞減函數，
∴f（x）＞f（0）=3，
∴f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞），
∴|f（x）|＞3，
故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函數f（x）在（-∞，0）上不是有界函數；
（Ⅱ）∵函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，
∴由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
∴-3≤f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，
∴-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min，
令t=2^x，由x∈[0，+∞），可得t≥1，
∴h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，
下面判斷函數h（t）和p（t）的單調性：
設1≤t₁＜t₂，則t₂-t₁＞0，4t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，2t₁t₂+1＞0，
∴h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，
∴h（t₁）＞h（t₂），p（t₁）＜p（t₂），
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1，
∴-5≤a≤1，
∴實數a的取值范圍為[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=

1-m•x2

1+m•x2

=-1+

2

m•x2+1

，
①當m＞0時，x∈[0，1]，
∵y=m•x²+1在[0，1]上單調遞增，
∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-m

1+m

≤g(x)≤1，
∵|

1-m

1+m

|＜1，
∴|g（x）|＜1，
∵函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函數的定義可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
②當m=0時，g（x）=1，|g（x）|=1，
∵函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函數的定義可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
③當-1＜m＜0時，x∈[0，1]，
∵y=m•x²+1在[0，1]上單調遞減，
∴g（x）在[0，1]上遞增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g(x)≤

1-m

1+m

，
∴|g(x)|＜

1-m

1+m

，
∵函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函數的定義可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T(m)≥

1-m

1+m

．
綜合①②③，當m≥0時，T（m）的取值范圍是[1，+∞），
當-1＜m＜0時，T（m）的取值范圍是[

1-m

1+m

，+∞)．

點評：本題考查了函數的恒成立問題，函數的最值的應用．對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題選用了參變量分離的方法轉化成求最值問題．本題涉及了函數的求最值和值域問題，解題中主要運用了函數的單調性求解最值和值域．對于本題中的新定義問題，要嚴格按照題中所給定義分析，將陌生的問題轉化為所熟悉的問題，本題轉化為恒成立問題．屬于難題．