Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且滿足對(duì)任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（9）的值
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明
（3）解不等式f（x）+f（x-8）＜2．

Answer 1

分析：（1）由已知中任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．令x=y=3，即可得到f（9）的值
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，根據(jù)f（xy）=f（x）+f（y），可得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，結(jié)合當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，易得f（x₂）＞f（x₁），由函數(shù)單調(diào)性的定義，易得函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論，我們可將不等式f（x）+f（x-8）＜2轉(zhuǎn)化成一個(gè)關(guān)于x的一元二次不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）∵對(duì)任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=3，結(jié)合f（3）=1可得：
f（9）=f（3）+f（3）=2
證明：（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，因x1＜x2，即

x2

x1

＞1，
∴f（

x2

x1

)＞0＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)
解：（3）∵f（x）+f（x-8）=f[x（x-8）]＜f（9）
又函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴

x＞0 x-8＞0 x(x-8)＜9

?8＜x＜9
即原不等式的解集為（8，9）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值，其中抽象函數(shù)中“湊”的思想是解答此類問題的關(guān)鍵，如（1）中x=y=3，（2）中將f（xy）=f（x）+f（y），湊成f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)．