Question

設(shè)正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₂=4，且對(duì)于任何n∈N^*，有2+；
（1）求a₁，a₃；（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1，根據(jù)2+可得到，再由a₁為正整數(shù)可得到a₁的值，當(dāng)n=2時(shí)同樣根據(jù)2+可得到2+進(jìn)而可得到a₃的范圍，最后根據(jù)數(shù)列{a_n}是正整數(shù)數(shù)列求出a₃的值．
（2）先根據(jù)a₁=1，a₂=4，a₃=9可猜想a_n=n²，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（1）據(jù)條件得2+①
當(dāng)n=1時(shí)，由，即有2+＜，
解得．因?yàn)閍₁為正整數(shù)，故a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，由2+，解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．
（2）由a₁=1，a₂=4，a₃=9，猜想：a_n=n²．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1，2時(shí)，由（1）知a_n=n²均成立；
②假設(shè)n=k（k≥2）成立，則a_k=k²，則n=k+1時(shí)
由（1）得2+
∴
，
即
∴
因?yàn)閗≥2時(shí)，（k³+1）-（k+1）²=k（k+1）（k-2）≥0，所以．
k-1≥1，所以．又a_k+1∈N^*，所以（k+1）²≤a_k+1≤（k+1）²．
故a_k+1=（k+1）²，即n=k+1時(shí)，a_n=n²成立．由1°，2°知，對(duì)任意n∈N^*，
a_n=n²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根據(jù)條件求數(shù)列的項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式．先猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，要熟練掌握．