Question

如圖：四棱錐中，,,．∥，．．

（Ⅰ）證明: 平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面成角正弦值等于，若存在，指出點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取線段中點(diǎn)，連結(jié)．
根據(jù)邊角關(guān)系及　得到，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011614968501.png" style="vertical-align:middle;" />，且，可得平面。
（Ⅱ）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

試題分析：（Ⅰ）證明：取線段中點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011615623530.png" style="vertical-align:middle;" />，所以           1分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011615093385.png" style="vertical-align:middle;" />∥，所以，           2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011615139531.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，而
所以．          4分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011615093519.png" style="vertical-align:middle;" />，所以　即
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011614968501.png" style="vertical-align:middle;" />，且
所以平面          6分
（Ⅱ）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以
所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則四點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
；；；       8分
設(shè)；平面的法向量．
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以假設(shè)，所以 
即，所以．        9分
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824011615295448.png" style="vertical-align:middle;" />的法向量．
所以，所以
所以         10分
因?yàn)橹本�與平面成角正弦值等于，所以．
所以　即．所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)． 12分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。（1）注意轉(zhuǎn)化成了平面幾何問(wèn)題；（2）利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。