Question

試討論函數f(x)＝log_a(－x²－4x＋5)(其中a＞0，且a≠1)的單調性、奇偶性．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：由－x²－4x＋5＞0，解得－5＜x＜1，∴函數f(x)的定義域(－5，1)．

　　∴函數f(x)為非奇非偶函數．

　　令u＝－x²－4x＋5，則有f(u)＝log_au．

　　∵u＝－x²－4x＋5＝－(x＋2)²＋9，且－2∈(－5，1)．

　　∴函數u在區(qū)間(－5，－2]內單調遞增，在區(qū)間[－2，1)內單調遞減．

　　義∵當0＜a＜1時，函數f(u)＝log_au在其定義域內為減函數；當a＞1時，函數f(u)＝log_au在其定義域內為增函數，∴a＞1時，函數f(x)在(－5，－2]上為增函數，在[－2，1)上為減函數．0＜a＜1時，函數f(x)在(－5，－2]上為減函數，在[－2，1)上為增函數．

　　評注：本題判定函數的單調性，直接運用了復合函數單調性的判斷方法得到結論．

提示：

此題是較典型的復合函數判斷單調性、奇偶性問題．針對所給的函數式，除了首先要求定義域外還要注意底數對函數單調性的影響(此時要注意分類討論)，另外需要綜合運用函數的性質解決問題．