Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a（a≠0，且a為常數(shù)）對稱，證明：f（x）是周期函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意得出f（-x）=-f（x），f（x）=f（2a-x），f（-x）=f（2a+x），即f（x+2a）=-f（x），f（x+4a）=f（x），即可證明．

解答： 證明：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a（a≠0，且a為常數(shù)）對稱，
∴f（x）=f（2a-x），
f（-x）=f（2a+x），
即f（x+2a）=-f（x），
∴∴f（x）是周期函數(shù)．周期為4a，

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用奇偶性，對稱性證明問題，屬于中檔題．