Question

【題目】如圖， 平面平面, 是等邊三角形， 是的中點(diǎn).

(1)證明： ；

(2)若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由是等邊三角形， 是的中點(diǎn)，可得,利用直線與平面垂直的判定定理得出直線與平面垂直，再利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過(guò)且與直線平的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線與平面所成的角的余弦值為.可得，不妨設(shè),利用向量垂直數(shù)量積為零，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值，進(jìn)而可得正弦值.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>是等邊三角形， 是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)?/span>平面平面，所以，因?yàn)?/span>,所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.

(2)解法1: 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為軸， 所在直線為軸，過(guò)且與直線平的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>平面，所以為直線與平面所成的角.

由題意得,,

即，從而.不妨設(shè),又,則.

故.

于是,

設(shè)平面與平面的法向量分別為,

由令,得

由令,得.

.

.故二面角的正弦值為1.

(2)解法2： 平面為直線與平面所成的角.

由題意得,

即，從而.

不妨設(shè),又,則， .

由于平面， 平面，則.

取的中點(diǎn)，連接，則.

在中， ,

在中， ,

在中， ,

取的中點(diǎn)，連接,則.

所以為二面角的平面角.

在中， ,

在中， ,

在中， ,

.

故二面角的正弦值為1.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)，以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.