Question

17．已知向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=2，又向量$\overrightarrow c$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$（x∈R且x≠0，y∈R），則|$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得則$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{|x|}{2\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+xy}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1{+（\frac{y}{x}）}^{2}+\frac{y}{x}}}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得它的最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow a$與向量$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$，且|${\overrightarrow a}$|=|${\overrightarrow b}$|=2，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2•2•cos$\frac{2π}{3}$=-2，
又∵向量$\overrightarrow c$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$（x∈R且x≠0，y∈R），∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{4x}^{2}+{4y}^{2}-4xy}$=2$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-xy}$，
則|$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{|x|}{2\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+xy}}$=$\frac{1}{2\sqrt{1{+（\frac{y}{x}）}^{2}+\frac{y}{x}}}$=$\frac{1}{2\sqrt{{（\frac{y}{x}+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}}$≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{y}{x}$=-$\frac{1}{2}$時(shí)，取等號(hào)，故|$\frac{|x|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．