Question

過(guò)拋物線x²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）證明：△ABO是鈍角三角形；
（II）求△ABO面積的最小值；
（III）過(guò)點(diǎn)A作拋物線的切線交y軸于點(diǎn)C，求線段AC中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）欲證△ABO是鈍角三角形，只需證明∠AOB的余弦值小于0即可．設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，以及直線AB的方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求x₁x₂，y₁y₂的，用向量的坐標(biāo)公式求

OA

 •

OB

，再代入向量的夾角公式，求出∠AOB的余弦值，再判斷正負(fù)即可．
（II）y軸把△ABO分成了兩個(gè)三角形，分別是△AFO和△BFO，所以S_△ABO=s_△AFO+S_△BFO=

1

2

|OF||x1-x2|，再把（I）中求出的x₁x₂，x₁+x₂的值代入，就可用含k的式子表示S_△ABO，再求最值即可．
（III）先設(shè)出過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用△=0，求出k，再帶回切線方程，求C點(diǎn)坐標(biāo)，這樣就可找到AC中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：（I）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程y=kx+

p

2

由

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pkx-p²=0
∴x1x2=-p2，y1y2=

p2

4

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-p2+

p2

4

=-

3

4

p2＜0
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB

＜0
∴∠AOB為鈍角，△ABO為鈍角三角形
（II）由（I）x₁x₂=-p2，x₁+x₂=2pk
∴S△ABO=

1

2

|OF||x1-x2|=

p

4

(x1+x2)2-4x1x2

=

p

4

4p2k2+4p2

=

p2

2

(1+k2)

≥

p2

2

當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào)
∴△ABO面積的最小值是

p2

2

（III）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y=k（x-x₁）+y₁由

y=k(x-x1)+y1 x2=2py

得
x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0解得k=

1

p

x1
∴切線方程為y=

1

p

x1(x-x1)+y1令x=0，得y=-

x12

p

+y1=-2y1+y1=-y1
∴線段AC中點(diǎn)M為（x，0）
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y=0（x≠0）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于圓錐曲線的常規(guī)題，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到正確解答．