Question

（1）直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，且與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，證明：y₁y₂=-p²；
（2）直線l過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，且與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸，證明：直線AC經(jīng)過原點．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出直線方程（注意考慮斜率的存在性），再將直線與拋物線聯(lián)立，運用韋達定理解決問題
（2）當斜率不存在時，直線x=

p

2

，此時A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，C(-

p

2

，-p)，易證直線AC經(jīng)過原點．當斜率存在，設(shè)直線方程為：y=k(x-

p

2

)，與拋物線聯(lián)立，運用韋達定理可求得k，進而證明直線AC經(jīng)過原點

解答：解（1）1°當斜率不存在時，直線x=

p

2

．此時A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，y₁y₂=-p²
2°當斜率存在，設(shè)直線方程為：y=k(x-

p

2

)

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消元得：ky²-2py-kp²=0w所以   y₁y₂=-p²
綜上所述y₁y₂=-p²
（2）1°當斜率不存在時，直線x=

p

2

，此時A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，C(-

p

2

，-p)
所以直線AC的斜率為kAC=

-p-p

- p 2 - p 2

=2
所以直線AC的方程為y-p=2(x-

p

2

)⇒y=2x直線經(jīng)過原點
2°當斜率存在，設(shè)直線方程為：y=k(x-

p

2

)
設(shè)A(

y12

2p

，y1)，B(

y22

2p

，y2)C(-

p

2

，y2)
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消元得：ky²-2py-kp²=0  y₁y₂=-p²；所以直線AC的斜率為kAC=

- y 2 1 2p -y1

- p 2 - y 2 1 2p

=

2p

y1

所以直線AC的方程：y-y1=

2p

y1

(x-

y 2 1

2p

)⇒y=

2p

y1

x
所以直線經(jīng)過原點．   
綜上所述，直線經(jīng)過原點

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，特別是焦點弦的運用，解題時要充分利用拋物線的特殊性，靈活運用韋達定理解決問題