Question

21.（Ⅰ）給出兩塊面積相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個(gè)正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

  （Ⅱ）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；

  （Ⅲ）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個(gè)直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明.

Answer 1

21.

解：（Ⅰ）如圖1，沿正三角形三邊中點(diǎn)連線折起，可拼得一個(gè)正三棱錐.                                                                               

如圖2，正三角形三個(gè)角上剪出三個(gè)相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對(duì)角為直角.余下部分按虛線折起，可成為一個(gè)缺上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底.                                               

 

（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V_柱＞V_錐.                            

推理如下：

設(shè)給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面

都是邊長為1的正三角形，其面積為.現(xiàn)在計(jì)算它們的高：

h_錐=，

 

h_柱=tan30°=.

 

∴V_錐－V_柱=（h_錐－h_柱）·=（－）· =＜0，

 

所以，V_柱＞V_錐.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（Ⅲ）如圖3，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點(diǎn)，得到三條線段，再以這三條線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形.以新作的三角形為直三棱柱的底面，過新三角形的三個(gè)頂點(diǎn)向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個(gè)四邊形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個(gè)缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.