Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且l≥2r．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c（c＞3）千元．設(shè)該容器的建造費用為y千元．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的r．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圓柱和球的體積的表達式，得到l和r的關(guān)系．再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用l≥2r，求出自變量r的范圍．
（2）用導數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進行分類討論．
解答：解：（1）由體積V=，解得l=，
∴y=2πrl×3+4πr²×c
=6πr×+4cπr²
=2π•，
又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2
∴其定義域為（0，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-，
=，0＜r≤2
由于c＞3，所以c-2＞0
當r³-=0時，則r=
令=m，（m＞0）
所以y′=
①當0＜m＜2即c＞時，
當r=m時，y′=0
當r∈（0，m）時，y′＜0
當r∈（m，2）時，y′＞0
所以r=m是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點．
②當m≥2即3＜c≤時，
當r∈（0，2）時，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以r=2是函數(shù)y的最小值點．
綜上所述，當3＜c≤時，建造費用最小時r=2；
當c＞時，建造費用最小時r=
點評：利用導數(shù)的知識研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值問題是高考經(jīng)常考查的知識點，同時分類討論的思想也蘊含在其中．