Question

20．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，則$\frac{ac}+\frac{c}{ab}-\frac{c}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{c-2}$的最小值為$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由2=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，先將$\frac{a}$+$\frac{1}{ab}$-$\frac{1}{2}$變形為$\frac{5{a}^{2}+^{2}}{4ab}$，運用基本不等式可得最小值，再求$\frac{\sqrt{5}}{2}$c+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$=$\sqrt{5}$[$\frac{1}{2}$（c-2）+$\frac{1}{c-2}$+1]的最小值，運用基本不等式即可得到所求值．

解答 解：a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，
則$\frac{ac}+\frac{c}{ab}-\frac{c}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{c-2}$=c（$\frac{a}$+$\frac{1}{ab}$-$\frac{1}{2}$）+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$
=$\frac{c（2{a}^{2}+2-ab）}{2ab}$+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$，
由2=$\frac{（a+b）^{2}}{2}$，可得$\frac{2{a}^{2}+2-ab}{2ab}$=$\frac{2{a}^{2}+\frac{（a+b）^{2}}{2}-ab}{2ab}$
=$\frac{5{a}^{2}+^{2}}{4ab}$≥$\frac{2\sqrt{5}ab}{4ab}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
當且僅當b=$\sqrt{5}$a時，取得等號．
則原式≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$c+$\frac{\sqrt{5}}{c-2}$=$\sqrt{5}$[$\frac{1}{2}$（c-2）+$\frac{1}{c-2}$+1]
≥$\sqrt{5}$[2$\sqrt{\frac{1}{2}（c-2）•\frac{1}{c-2}}$+1]
=$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．
當且僅當c=2+$\sqrt{2}$時，取得等號．
則所求最小值為$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三等，考查化簡和運算能力，屬于中檔題．