Question

如圖，P為圓外一點，PD為圓的切線，切點為D，AB為圓的一條直徑，過點P作AB的垂線交圓于C、E兩點（C、D兩點在AB的同側(cè)），垂足為F，連接AD交PE于點G．
（1）證明：PC=PD；
（2）若AC=BD，求證：線段AB與DE互相平分．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）利用PD為圓的切線，切點為D，AB為圓的一條直徑，證明：∠DGP=∠PDG，即可證明PC=PD；
（2）若AC=BD，證明DE為圓的一條直徑，即可證明線段AB與DE互相平分．

解答： 證明：（1）∵PD為圓的切線，切點為D，AB為圓的一條直徑，
∴∠PDA=∠DBA，∠BDA=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵PE⊥AB
∴在Rt△AFG中，∠FGA+∠GAF=90°，
∴∠FGA+∠DAB=90°，
∴∠FGA=∠DBA．
∵∠FGA=∠DGP，
∴∠DGP=∠PDA，
∴∠DGP=∠PDG，
∴PG=PD；
（2）連接AE，則
∵CE⊥AB，AB為圓的一條直徑，
∴AE=AC=BD，
∴∠EDA=∠DAB，
∵∠DEA=∠DBA，
∴△BDA≌△EAD，
∴DE=AB，
∴DE為圓的一條直徑，
∴線段AB與DE互相平分．

點評：本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查圓的切線的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．