Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，AB⊥BP，M、N分別為AC、PD的中點(diǎn)．
求證：
（1）MN∥平面ABP；
（2）平面ABP⊥平面APC的充要條件是BP⊥PC．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由于四邊形ABCD為矩形，則BD必過(guò)點(diǎn)M．由點(diǎn)N是PD的中點(diǎn)，知MN∥BP，由此能夠證明MN∥平面ABP．
（2）先證明由“BP⊥PC”⇒“平面ABP⊥平面APC”，再證明由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”由此證明平面ABP⊥平面APC的充要條件是BP⊥PC．

解答：證明：（1）連接BD，由于四邊形ABCD為矩形，
則BD必過(guò)點(diǎn)M．（1分）
又點(diǎn)N是PD的中點(diǎn)，則MN∥BP，（2分）
∵M(jìn)N?面ABP，BP?面ABP，
∴MN∥平面ABP．（4分）
（2）充分性：由“BP⊥PC”⇒“平面ABP⊥平面APC”，
∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP?面PBC，BC?面PBC，BP∩BC=B，
∴AB⊥面PBC，（6分）
∵PC?面PBC，∴AB⊥PC，（7分）
又∵PC⊥BP，AB，BP是面ABP內(nèi)兩條相交直線，
∴PC⊥面ABP，PC?面APC，（9分）
∴面ABP⊥面APC．（10分）
必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”
過(guò)B作BH⊥AP于H，
∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩面APC=AP，
BH?面ABP，∴BH⊥面APC．（12分）
∵AB⊥PC，
∴PC⊥面ABP，PC⊥PB．
故平面ABP⊥平面APC的充要條件是BP⊥PC．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的充要條件的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意空間思維能力的合理運(yùn)用．