Question

已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．

（1）記函數(shù)，且，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若對任意，，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）和（2）

【解析】

試題分析：（1）利用導(dǎo)函數(shù)大于零求單調(diào)增區(qū)間：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.004.png">，所以，令，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.007.png">，得或，所以的單調(diào)增區(qū)間為和（2）雙變量不等式恒成立問題，先對不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)增減性問題：不妨設(shè)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，所以有對恒成立，即對，恒成立，即對，恒成立，所以和在都是單調(diào)遞增函數(shù)，然后分別求對應(yīng)函數(shù)增減性條件：在上恒成立，在恒成立，得在恒成立，；在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.004.png">，

所以， 2分

令，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.007.png">，得或， 5分

所以的單調(diào)增區(qū)間為和； 6分

（2）因?yàn)閷θ我?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.030.png">且，均有成立，

不妨設(shè)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，

所以有對恒成立， 8分

所以對，恒成立，

即對，恒成立，

所以和在都是單調(diào)遞增函數(shù)， 11分

當(dāng)在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.034.png">在上單調(diào)減函數(shù)，所以在上取得最大值，

解得． 13分

當(dāng)在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031206063087645141/SYS201503120607229253217533_DA/SYS201503120607229253217533_DA.036.png">在上遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上取得最小值，

所以， 15分

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：不等式恒成立問題