Question

11．圓x²+（y-1）²=4上點(diǎn)到曲線f（x）=-x³+3x²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的最遠(yuǎn)距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• B． $\frac{10+\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{10-\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{10+2\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 求出曲線f（x）=-x³+3x²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，圓心（0，1）到直線的距離，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，f′（x）=-3x²+6x，∴f′（1）=3，
又f（1）=2，∴曲線f（x）=-x³+3x²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為3x-y-1=0，
圓心（0，1）到直線的距離為$\frac{2}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴圓x²+（y-1）²=4上點(diǎn)到曲線f（x）=-x³+3x²在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的最遠(yuǎn)距離為2+$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．