Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在銳角三角形ABC中，若f（A）=1，

AB

•

AC

=

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）三角函數(shù)問題一般都是要把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，然后利用正弦函數(shù)的知識解決問題，本題中選用二倍角公式和降冪公式化簡為f（x）=2sin（2x+

π

3

）．
（2）三角形的面積公式很多，具體地要選用哪個公式，要根據(jù)題意來確定，本題中已知

AB

•

AC

=2，而

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA，因此我們選面積公式S=

1

2

|

AB

||

AC

|sinA，正好由已知條件可求出A，從而得到面積．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxcosx+

3

(2cos2x-1)
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z），
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，(k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z），
（2）由已知，f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1，
∴sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵0＜A＜

π

2

，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

，
∴2A+

π

3

=

5π

6

，從而A=

π

4

，
又∵

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=

2

，
∴|

AB

||

AC

|=2，
∴△ABC的面積S=

1

2

•|

AB

|•|

AC

|•sinA=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要注意三角函數(shù)恒等式的靈活運用．