Question

函數(shù)y=cos2x-x²，x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：解決本題要先判斷函數(shù)y=cos2x+x²的奇偶性，把函數(shù)在x∈[-

π

2

，

π

2

]的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在[0，

π

2

]上的最值問題，然后通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決．

解答： 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=cos2x-x²的定義域?yàn)閤∈[-

π

2

，

π

2

]，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
  又∵f（-x）=cos（-2x）-（-x）²=cos2x-x²=f（x），
∴函數(shù)y=cos2x-x²為偶函數(shù)，
∴把求函數(shù)y=cos2x-x²在定義域[-

π

2

，

π

2

]上的最值轉(zhuǎn)化成求函數(shù)y=cos2x-x²在[0，

π

2

]上的最值，
∵y′=2sin2x-2x＞0在[0，

π

2

]上恒成立，則函數(shù)y=cos2x+x²在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)y=cos2x-x²在[0，

π

2

]上的最大值為1，最小值為-1-

π2

4

，
故答案：1，-1-

π2

4

點(diǎn)評：本題是一個綜合性的題目，考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．