已知函數(shù)f(x)=2x+
2
2x
-1
,x∈[0,+∞)
(1)證明:函數(shù)在[0,
1
2
]
上為單調(diào)減函數(shù),在[
1
2
,+∞)
上為單調(diào)增函數(shù);
(2) 若x∈[0,a],求f(x)的最大最小值.
分析:(1)設(shè)x1>x2≥0,表示出f(x1)-f(x2),化簡后,分兩種情況考慮:當(dāng)
1
2
x1x2≥0
時(shí),經(jīng)過判斷f(x1)-f(x2)的符號(hào)為負(fù),即得到f(x1)<f(x2),所以函數(shù)在此區(qū)間為減函數(shù);當(dāng)x1x2
1
2
時(shí),同理判斷出f(x1)-f(x2)的符號(hào)為正,即得到f(x1)>f(x2),所以函數(shù)在此區(qū)間為增函數(shù),得證;
(2)分三種情況考慮:當(dāng)a大于0小于等于
1
2
時(shí),當(dāng)a大于
1
2
小于等于1時(shí)及a大于1時(shí),分別根據(jù)(1)證出的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到相應(yīng)函數(shù)的最大和最小值.
解答:解:(1)設(shè)x1>x2≥0,則f(x1)-f(x2)=2x1+
2
2x1
-2x2-
2
2x2

=(2x1-2x2)
2x1+x2-2
2x1+x2

當(dāng)
1
2
x1x2≥0
時(shí),x1+x2<1,2x1+x2<2,
2x1-2x2>0,2x1+x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在[0,
1
2
]
上為單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)x1x2
1
2
時(shí),x1+x2>1,2x1+x2>2,
2x1-2x2>0,2x1+x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在[
1
2
,+∞)
上為單調(diào)增函數(shù).得證;
(2)解:①當(dāng)0<a≤
1
2
時(shí),由(1)知函數(shù)f(x)在[0,a]上單調(diào)遞減,
所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(a)=2a+21-a-1;
②當(dāng)
1
2
<a≤1
時(shí),由(1)知函數(shù)f(x)在[0,
1
2
]
上單調(diào)遞減,
[
1
2
,a]
上單調(diào)遞增,且f(0)=f(1),
所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(
1
2
)=2
2
-1
;
③當(dāng)a>1時(shí),由(1)知函數(shù)f(x)在[0,
1
2
]
上單調(diào)遞減,
[
1
2
,a]
上單調(diào)遞增,且f(0)=f(1),
所以f(x)max=f(a)=2a+21-a-1,f(x)min=f(
1
2
)=2
2
-1
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生會(huì)利用做差法判斷兩個(gè)式子的大小,掌握函數(shù)單調(diào)的性質(zhì),會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,是一道綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1

(1)求出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)當(dāng)x∈[0,2π]時(shí),求使f(x)=
3
成立的x的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)
的圖象過點(diǎn)(4,-1)
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn);
(3)若f(x)+mx>1對(duì)一切的正實(shí)數(shù)x均成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時(shí),函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案