Question

18．在如圖的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（1）求證：AC⊥平面FBC；
（2）求平面CBF與平面ADE所成夾角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用余弦定理得到AC與BC的關系，進一步可得AC²+BC²=AB²，得AC⊥BC．再由AC⊥FB，利用線面垂直的判定可得AC⊥平面FBC；
（2）由（1）知，F(xiàn)C⊥AC，結合四邊形CDEF為正方形，可得FC⊥DC，進一步得到FC⊥平面ABCD，過C作CH∥AD，可得∠HCB就是平面ADE與平面CBF所稱的二面角的平面角，證出△HBC為等邊三角形，可得平面CBF與平面ADE所成夾角的正弦值．

解答 （1）證明：在△ABC中，∵∠ABC=60°，AB=2BC，
由余弦定理可得：$cos∠ABC=\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}=\frac{1}{2}$，
∴AB²+BC²-AC²=AB•BC，
即4BC²+BC²-AC²=2BC²，得3BC²=AC²，
∴$A{C}^{2}=3B{C}^{2}=\frac{3}{4}A{B}^{2}$，$B{C}^{2}=\frac{1}{4}A{B}^{2}$，
則AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
又AC⊥FB，且FB∩BC=B，
∴AC⊥平面BFC；
（2）解：由（1）知，F(xiàn)C⊥AC，
∵四邊形CDEF為正方形，∴FC⊥DC，
又DC∩AC=C，∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥BC，過C作CH∥AD，
∵ABCD為等腰梯形，∴AHCD為平行四邊形，
∴AD=BC=CH，
∵CF⊥平面ABCD，∴CF⊥HC，
∴∠HCB就是平面ADE與平面CBF所稱的二面角的平面角，
而∠ABC=60°，BC=CH，∴△HBC為等邊三角形，
∴∠HCB=60°，則sin∠HCB=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查了平面與平面所成的角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．