Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-m）（m＞0），試畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象解決下列兩問(wèn)題．
（1）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義，將函數(shù)化簡(jiǎn)為分段函數(shù)表達(dá)式：f（x）=

x(x-m)，x≥0 -x(x-m)，x＜0

，（m＞0），從而得到函數(shù)圖象是開(kāi)口向下的拋物線在y軸的左側(cè)的部分，和開(kāi)口向上的拋物線在y軸右側(cè)的部分拼接而成．
（1）結(jié)合作出的圖象，不難得到函數(shù)在R上有三個(gè)單調(diào)區(qū)間；
（2）討論m的范圍，即當(dāng)m≥

1

2

時(shí)，當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，由圖象即可得到最大值．

解答： 解：f（x）=|x|（x-m）=

x(x-m)，x≥0 -x(x-m)，x＜0

，（m＞0），圖象如右：
（1）由圖象可得，f（x）的增區(qū)間為：（-∞，0），（

m

2

，+∞），
減區(qū)間為（0，

m

2

）；
（2）結(jié)合f（x）的圖象，可得
當(dāng)m≥

1

2

時(shí)f（x）在[-1，

1

2

]上，當(dāng)x=0時(shí)，取最大值0；
當(dāng)m＜

1

2

時(shí)，f（x）在[-1，

1

2

]上，當(dāng)x=

1

2

時(shí)，取最大值

1

4

-

1

2

m．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)含有絕對(duì)值函數(shù)的圖象的作法問(wèn)題，著重考查了函數(shù)圖象的作法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．