Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE=2CD．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，

AP

=λ

AB

+μ

AE

．則λ-μ的取值范圍為（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-1，2]
• C、[-2，1]
• D、[0，2]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（1，0），E（-2，1），

AP

=λ

AB

+μ

AE

=λ（1，0）+μ（-2，1）=（λ-2μ，μ）．對于點(diǎn)P在四條邊的位置分類討論即可得出．

解答： 解：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則B（1，0），E（-2，1），

AP

=λ

AB

+μ

AE

=λ（1，0）+μ（-2，1）
=（λ-2μ，μ）．
當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-2μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ-μ≤1；
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-2μ=1，0≤μ≤1，
∴0≤λ-μ≤2；
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-2μ≤1，μ=1，
∴1≤λ-μ≤2；
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-2μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ-μ≤1．
綜上可得：0≤λ-μ≤2．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．