Question

在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊是a，b，c，滿足2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（1）求角A；    
（2）若b=2，c=1，D為BC上一點(diǎn)，且CD=2BD，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，再利用余弦定理求出cosA，從而求出A即可；
（2）如圖過D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，根據(jù)平行線等分線段定理和向量的加法可得

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，利用向量的數(shù)量積公式可求出|

AD

|2=(

2

3

AB

+

1

3

AC

)2=

4

9

AB

2+

4

9

AB

•

AC

+

1

9

AC

2=

4

9

，從而得出|AD|=

2

3

．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，滿足
2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
由正弦定理可得
2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
故cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

∵在△ABC中   
0＜A＜π
∴A=

2π

3

．
（2）如圖過D作DE∥AC交AB于E，作DF∥AB交AC于F，
則AEDF是平行四邊形，且AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC，
∴

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

，

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=-1，
∴|

AD

|2=(

2

3

AB

+

1

3

AC

)2=

4

9

AB

2+

4

9

AB

•

AC

+

1

9

AC

2=

4

9

，
∴|AD|=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理和余弦定理得靈活應(yīng)用，以及向量加法和數(shù)量積的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．