已知數(shù)列，其前項和為．

⑴若對任意的，組成公差為的等差數(shù)列，且，，求的值；

⑵若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為常數(shù)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件為．

 

【答案】

（1）

（2）證明充要條件命題，要證明充分性和必要性同時成立即可。

【解析】

試題分析：⑴因為成公差為的等差數(shù)列，

所以，                 2分

所以是公差為的等差數(shù)列，且

，             4分

又因為，所以

，

所以，所以．                 6分

⑵因為，所以，   ①

所以，   ②

②－①，得， ③            8分

（�。┏浞中裕阂驗�，所以，代入③式，得

，因為，又，

所以，，所以為等比數(shù)列，              12分

（ⅱ）必要性：設(shè)的公比為，則由③得，

整理得，                 14分

此式為關(guān)于n的恒等式，若，則左邊，右邊，矛盾；

，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，所以．

由（ⅰ）、（ⅱ）可知，數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件為．       16分

考點：等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列

點評：主要是考查了等差數(shù)列求和以及通項公式的運用，和等比數(shù)列的概念的運用，屬于基礎(chǔ)題。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列，其前項和為.

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅲ）如果數(shù)列滿足，請證明數(shù)列是等比數(shù)列，

并求其前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆北京市高二下學(xué)期文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 （本小題滿分10分）

已知數(shù)列，其前項和為.

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅲ）如果數(shù)列滿足，請證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項和.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省無錫市高三第二次考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本題滿分16分）

已知數(shù)列，其前項和為，對任意都有：

（1）求證：是等比數(shù)列；

（2）若構(gòu)成等差數(shù)列，求實數(shù)的值；

（3）求證：對任意大于1的實數(shù)，，,

不能構(gòu)成等差數(shù)列.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年安徽省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列，其前項和為．

（1）求數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）如果數(shù)列滿足，請證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求使不等式 對一切都成立的最大正整數(shù)的值．

 

 

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