Question

設(shè)

a

是已知的平面向量，向量

a

，

b

，

c

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，有如下四個(gè)命題：
①給定向量

b

，總存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

；
②給定向量

b

和

c

，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
③給定單位向量

b

和正數(shù)μ，總存在單位向量

c

和實(shí)數(shù)λ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
④若|

a

|=2，存在單位向量

b

、

c

和正實(shí)數(shù)λ，μ，使

a

=λ

b

+μ

c

，則3^λ+3^μ≥6
其中真命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：選項(xiàng)①由向量加減的幾何意義可得；選項(xiàng)②③均可由平面向量基本定理判斷其正確性；選項(xiàng)④利用基本不等式加以判斷即可．

解答： 解：選項(xiàng)①，給定向量

a

和

b

，只需求得其向量差

a

-

b

即為所求的向量

c

，故總存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

，故①正確；
選項(xiàng)②，當(dāng)向量

b

，

c

和

a

在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量

b

，

c

，可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故可知②正確；
選項(xiàng)③，取

a

=（4，4），μ=2，

b

=（1，0），無(wú)論λ取何值，向量λ

b

都平行于x軸，而向量μ

c

的模恒等于2，要使

a

=λ

b

+μ

c

成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μ

c

的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量

c

使等式成立，故③錯(cuò)誤；
選項(xiàng)④，∵|

a

|²=（λ

b

+μ

c

）²=λ2+μ2+2λμcos＜

b

，

c

＞=4，∴（λ+μ）²≥4，即λ+μ≥2，3^λ+3^μ≥2

3λ•3μ

=2

3λ+μ

≥2×3=6．故可知④正確；
故答案為：①②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及平面向量基本定理及其意義，屬基礎(chǔ)題．