Question

已知直線l：y=3x+3．
（1）求點P（5，3）關(guān)于直線l的對稱點P′的坐標；
（2）求直線l₁：x-y-2=0關(guān)于直線l的對稱直線l₂的方程；
（3）已知點M（2，6），試在直線l上求一點N使得|NP|+|NM|的值最小．

Answer 1

考點：與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)點P的對稱點為P'（a，b），由中點坐標公式和兩直線垂直的條件列方程，解出即可；
（2）首先求出兩直線的交點，再由點關(guān)于直線對稱的求法求出對稱點，再由直線方程的形式，即可得到；
（3）可由（1）的結(jié)論，連接P'M，交直線l于N，連接NP，再由三點共線的知識，即可求出N．

解答： 解：（1）設(shè)點P的對稱點為P'（a，b），
則

b-3 a-5 •3=-1 b+3 2 =3• a+5 2 +3

，解得：

a=-4 b=6

，
即點P'的坐標為（-4，6）；
（2）解方程組

x-y-2=0 3x-y+3=0

得

x=- 5 2 y=- 9 2

，
即兩直線l與l的交點坐標為(-

5

2

，-

9

2

)
因為直線l與l₂關(guān)于直線l對稱，所以直線l₂必過點(-

5

2

，-

9

2

)，
又由（1）可知，點P（5，3）恰好在直線l上，且其關(guān)于直線l的對稱點為P'（-4，6），
所以直線l₂必過點P'（-4，6），這樣由兩點式可得：

y+ 9 2

6+ 9 2

=

x+ 5 2

-4+ 5 2

，
即7x+y+22=0；
（3）由（1）得P'（-4，6），連接P'M，交直線l于N，連接NP，
則|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，
設(shè)出N（x，3x+3），則由P'，M，N共線，可得，

6-6

-4-2

=

3x+3-6

x-2

，解得，x=1，
則可得N（1，6）．

點評：本題考查點關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱，以及運用：求最值，考查直線方程的知識，考查運算能力，屬于中檔題．