分析:(1)證明DE⊥AC1,ED⊥BB1,即可得到DE為AC1和BB1的公垂線,
(2)利用DE⊥平面AC1,可得平面AEC1⊥平面AC1,從而可求二面角E-AC1-C的平面角;
(3)用體積法,根據(jù)VA-CEC1=VC1-AEC,可求點C1到平面AEC的距離.
解答:(1)證明:過D在面AC
1內(nèi)作FG∥A
1C
1分別交AA
1、CC
1于F、G,
則面EFG∥面ABC∥面A
1B
1C
1,
∴△EFG為正三角形,D為FG的中點,ED⊥FG.
連AE,C
1E
∵D、E分別為AC
1、BB
1的中點,
∴AE=EC
1,DE⊥AC
1.
又∵面EFG⊥BB
1,
∴ED⊥BB
1,故DE為AC
1和BB
1的公垂線,
∵
EC1=a,DC1=a,∴DE=
a.
(2)由(1)可得DE⊥平面AC
1,∴平面AEC
1⊥平面AC
1,∴二面角E-AC
1-C為90°.
(3)設(shè)點C
1到平面ACE的距離為h
在△AEC中,AE=CE=
a,AC=a,∴
S△AEC=×a×a=a2∵
VA-CEC1=××a×a×a,
VA-CEC1=VC1-AEC∴
××a×a×a=××a2h∴
h=a∴點C
1到平面ACE的距離為
a.
點評:本題綜合考查線面、線線、面面垂直,考查體積法求點到面的距離,熟練運用線面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵.