Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線 在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（3）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，且．若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求，最后根據(jù)切點(diǎn)求切線方程；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，求得兩個(gè)極值點(diǎn)，，判斷極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性并求得極值；（3）將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理，可得且，分，和，兩種情況討論，求得 取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，

∴，∴切線方程為：；

（2）∵,

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴在處取得極小值，

在處取得極大值；

（3）由已知得：，∵有3個(gè)互不相同的零點(diǎn)，

∴有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，

∴且，∴，又∵，

∴

①如果，∴，不合題意，

②如果，∵，

∴，，

∴，綜上可得：．