Question

函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

）cos2x在區(qū)間[-3，3]上的零點的個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把函數(shù)分解為g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

，h（x）=cos2x，利用導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)判斷即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

）cos2x，
∴設(shè)g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

，h（x）=cos2x，
∴g′（x）=1-x+x²＞0恒成立，
即g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
g（0）=1，g（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

＜0
有一個零點在（-1，0）
由cos2x=0求x的個數(shù)，由2x=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

4

，k∈z，又x∈[-3，3]，∴

π

4

，

3π

4

，-

π

4

，-

3π

4

為零點
所以cos2x=0有4個零點，
g（-

π

4

）≠0，
可以判斷函數(shù)f（x）=（1+x-

x2

2

+

x3

3

）cos2x在區(qū)間[-3，3]上的零點的個數(shù)為5個
故答案為：5

點評：本題主要考查函數(shù)的零點，分類討論的數(shù)學(xué)思想，分解為簡單的函數(shù)，屬于中檔題．