已知圓和直線
(1) 求證:不論取什么值,直線和圓總相交;
(2) 求取何值時(shí),圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長.
(1)見解析 (2) 當(dāng)時(shí),圓被直線截得最短的弦長為4
【解析】(1)由直線l的方程可得從而可確定直線l恒過定點(diǎn)(4,3),
再證明定點(diǎn)(4,3)在圓內(nèi)部即可.
(2)由弦長公式可知當(dāng)定點(diǎn)P(4,3)為弦的中點(diǎn)時(shí),圓心到直線l的距離最大,弦長最短,所以此時(shí)直線l與CP垂直.
解:(1)證明:由直線的方程可得,
,則直線
恒通過點(diǎn)
,把
代入圓C的方程,得
,所以點(diǎn)
在圓的內(nèi)部,
又因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)
, 所以直線
與圓C總相交.
(2)設(shè)圓心到直線的距離為
,則
又設(shè)弦長為,則
,即
.
∴當(dāng)時(shí),
所以圓被直線截得最短的弦長為4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知圓和直線
,直線
,
都經(jīng)過圓C外
定點(diǎn)A(1,0).
(Ⅰ)若直線與圓C相切,求直線
的方程;
(Ⅱ)若直線與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),與
交于N點(diǎn),且線段PQ的中點(diǎn)為M,
求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省南安一中高一寒假作業(yè)2數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知圓和直線
,直線
,
都經(jīng)過圓C外定點(diǎn)A(1,0).
(Ⅰ)若直線與圓C相切,求直線
的方程;
(Ⅱ)若直線與圓C相交于P,Q兩點(diǎn),與
交于N點(diǎn),且線段PQ的中點(diǎn)為M,
求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆北京師大附中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知圓和直線
,
(1)求證:不論取什么值,直線和圓總相交;
(2)求取何值時(shí),直線被圓截得的弦最短,并求出最短弦的長;
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