Question

已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命題正確的序號是

 

．
①如果函數(shù)f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₇），其中a_i∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值為12⁷．
②數(shù)列{a_n}滿足首項(xiàng)a₁=2，a_k+1²-a_k²=2，k∈N^*，當(dāng)n∈M且n最大時，數(shù)列{a_n}有2048個．
③數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，…，8）滿足a₁=5，a₈=7，|a_k+1-a_k|=2，k∈N^*，如果數(shù)列{a_n}中的每一項(xiàng)都是集合M的元素，則符合這些條件的不同數(shù)列{a_n}一共有33個．
④已知直線a_mx+a_ny+a_k=0，其中a_m，a_n，a_k∈M，而且a_m＜a_n＜a_k，則一共可以得到不同的直線196條．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對于①，由積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求得f′（0）的最大值為-1，說明命題①錯誤；
對于②，由分步計(jì)數(shù)原理可得命題正確；
對于③，把問題轉(zhuǎn)化為走樓梯問題，由排列組合知識解決；
對于④，由組合數(shù)知識求解，然后枚舉重復(fù)的數(shù)組，即可說明命題正確．

解答： 解：對于①，令g（x）=（x-a₁）（x-a₂）…（x-a_n），
則f′（x）=g（x）+x•g′（x），
∵f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₇），
∴f′（0）=g（0）=（-a₁）（-a₂）…（-a₇）＜（-1）⁷=-1．命題①錯誤；
對于②，n=12，令bk=ak2，則b_k+1-b_k=2，b₁=4．
對于每一個a_i（i＞1）都有兩種取值，共2¹¹=2048個．命題②正確；
對于③，這個問題相當(dāng)于走樓梯問題，一共六級樓梯，可以進(jìn)一步也可以退一步，
現(xiàn)在在第三級，求走7步后到第四級樓梯的走法．
事實(shí)上，必定要向前走四步和向后走三步，共

A 7 7

A 4 4 • A 3 3

=35種走法，但先走四步和先退三步這兩種都是不行的．
∴共33種走法，即符合條件的不同數(shù)列{a_n}一共有33個．命題③正確；
對于④，考慮滿足a_m＜a_n＜a_k（a_m，a_n，a_k）數(shù)組的數(shù)量，共

C

3 12

=220個．
而數(shù)組（1，2，3），（2，4，6），（3，6，9），（4，8，12），
（1，2，4），（2，4，8），（3，6，12），
（1，2，5），（2，4，10），
（1，2，6），（2，4，12），
（1，3，4），（2，6，8），（3，9，12），
（1，3，5），（2，6，10），
（1，3，6），（2，6，12），
（1，4，5），（2，8，10），
（1，4，6），（2，8，12），
（1，5，6），（2，10，12），
（2，3，4），（4，6，8），（6，9，12），
（2，3，5），（4，6，10），
（2，3，6），（4，6，12），
（2，4，5），（4，8，10），
（2，4，6），（4，8，12），
（2，5，6），（4，10，12），
（3，4，5），（6，8，10），
（3，4，6），（6，8，12），
（4，5，6），（8，10，12）中共重復(fù)24個數(shù)組，
∴一共可以得到不同的直線196條．
命題④正確．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷及應(yīng)用，考查了排列組合知識，綜合考查了學(xué)生的邏輯推理能力，是難度較大的題目．