Question

已知橢圓的離心率為，點M（2，3），N（2，-3）為C上兩點，斜率為的直線l與橢圓C交于點A，B（A，B在直線MN兩側）．
（I）求四邊形MANB面積的最大值；
（II）設直線AM，BM的斜率為k₁，k₂，試判斷k₁+k₂是否為定值．若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設根據(jù)離心率橢圓的方程，把M點代入即可求得c，則橢圓的方程可得．設直線l的方程，A（x₁，y₁），B（x₂，x₂），直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂進而代入四邊形形面積表達式中，根據(jù)m確定四邊形的面積最大值．
（2）設直線MA、MB的方程，進而與橢圓方程聯(lián)立分別求出A，B的橫坐標，進而求得兩點的坐標的表達式，表示出直線AB的斜率，根據(jù)斜率為整理可得k₁+k₂=0．
解答：解：（I），設橢圓，代入M（2，3），得c=2，
所以橢圓C的方程為
設直線l的方程為（m∈R），A（x₁，y₁），B（x₂，x₂）
游，得x²+mx+m²-12=0
則x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-12
又
=
顯然當m=0時，S_MANB=．

（II）設直線MA、MB的方程分別為y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
將（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0
則∴
∴，同理：
化簡得：k₁²=k₂²∵k₁≠k₂∴k₁=-k₂
即k₁+k₂=0為定值．
點評：本題主要考查了直線與橢圓的關系．解題的關鍵是充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．