Question

對于定義域為[0，1]的函數(shù)f（x），如果同時滿足以下三個條件：
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0
②f（1）=1
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立；則稱函數(shù)f（x）為理想函數(shù)．
下面有三個命題：
若函數(shù)f（x）為理想函數(shù)，則f（0）=0；
函數(shù)f（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是理想函數(shù)；
若函數(shù)f（x）是理想函數(shù)，假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，則f（x₀）=x₀；
其中正確的命題個數(shù)有（　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，從而得到f（0）=0；
（2）由題設(shè)知g（1）=1；由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g(shù)（x）≥0；設(shè)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則2x1≥1，2x2≥1；由此能夠證明函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上同時適合①②③；
（3）若f（x₀）＞x₀，則由題設(shè)知f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，由此入手能證明f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0，
∴f（0）=0；
（2）證明：由題設(shè)知：f（1）=2-1=1，
由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得f（x）∈[0，1]，有f（x）≥0，
設(shè)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則2x1≥1，2x2≥1．
∴f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=（2x1+x2-1）-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）．
∴函數(shù)g（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上同時適合①②③；
（3）證明：若f（x₀）＞x₀，則由題設(shè)知：f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，
由題設(shè)及③知：x₀=f（f（x₀））=f[（f（x₀）-x₀）+x₀]≥f[f（x₀）-x₀]+f（x₀）≥f（x₀），
矛盾；
若f（x₀）＜x₀，則由題設(shè)知：x₀-f（x₀）∈[0，1]，且由①知f[x₀-f（x₀）]≥0，
同理得：f（x₀）=f[（x₀-f（x₀））+f（x₀）]=f[x₀-f（x₀）]+f（f（x₀））≥f（f（x₀））=x₀，
矛盾．
故由上述知：f（x₀）=x₀．
∴正確命題的個數(shù)由3個．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)值的求法和函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，是壓軸題．