Question

在平面直角坐標系xOy中，點E到兩點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離之和為，設(shè)點E的軌跡為曲線C．
（1）寫出C的方程；
（2）設(shè)過點F₂（1，0）的斜率為k（k≠0）的直線l與曲線C交于不同的兩點M，N，點P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點P縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義可知，點E的軌跡C是以兩定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓，由此可得曲線C的方程；
（2）先寫出直線MN的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點E（x，y），根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），然后由PM=PN且P在y軸上，設(shè)p （0，b），利用兩點間的距離公式可求b與k的關(guān)系，然后結(jié)合△＞0可求b的范圍
解答：解：（1）由橢圓的定義可知，點E的軌跡是以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點，以2為長軸的橢圓
∵c=1，a=
∴b=1
∴C的方程為
（2）由題意可得，直線MN的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程可得，（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點E（x，y）
則x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=
且△=16k⁴-8（1+2k²）（k²-1）＞0
即1+k²＞0
∵PM=PN且P在y軸上，設(shè)p （0，b）
∴
整理可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₂-y₁）（y₂+y₁-2b）
∴x₁+x₂=k（y₁+y₂-2b）
代人可得，
∴b=
∴2bk²+3k+b=0
∴△=9-8b²＞0
∴且b≠0
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．