Question

已知A、B兩點的坐標分別為A（-1，0）、B（1，0），動點M滿足MA+MB=2

2

．
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）若點C在（1）中的軌跡上，且滿足△ABC為直角三角形，求點C的坐標；
（3）設經過B點的直線l與（1）中的軌跡交于P、Q兩點，問是否存在這樣的直線l使得△APQ為正三角形，若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意得到M點的軌跡為橢圓，求出b后直接寫出軌跡方程；
（2）分A，B為直角頂點或C為直角頂點分別求C的坐標，當C為直角頂點時，利用點在橢圓上及直角三角形斜邊的中線性質列式求解；
（3）利用△PAQ為正三角形求出|AP|，設出P點坐標后借助于焦半徑公式可求P的坐標，從而得到直線l的方程．

解答：解：（1）∵|MA|+|MB|=2

2

＞|AB|
∴M點的軌跡是以A、B為焦點，長軸為2

2

的橢圓，
由a=

2

，c=1，得b=1，
∴動點M的軌跡方程為

x2

2

+y2=1；
（2）①以A、B為直角頂點時，點C的坐標為：(±1，

2

2

)．
②以C為直角頂點時，設點C的坐標為（x₀，y₀），根據直角三角形的性質知：
|OC|=

1

2

|AB|=c=1，即：

x02+y02=1 x02 2 +y02=1

，解之得：

x0=0 y0=-1

或

x0=0 y0=1

．
∴C（0，-1）或（0，1）；
（3）因為△PAQ為正三角形，所以|AP|+|AQ|+|PQ|=3|AP|=4a=4

2

∴|AP|=

4 2

3

．
設點P的坐標為（x₁，y₁），軸橢圓的第二定義知：a+ex1=|AP|=

4 2

3

，即

2

+

2

2

x1=

4 2

3

所以：x1=

2

3

，y1=±

7

3

，
所以PQ的直線方程為：y=±

7

(x-1)．

點評：本題考查了橢圓的方程，考查了直線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了橢圓焦半徑公式的用法，考查了學生的計算能力，是難題．