Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段BC₁上一點(diǎn)，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求證：GE∥側(cè)面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（3）求點(diǎn)B到平面B₁GE的距離．

Answer 1

分析：解法1：（1）根據(jù)BE=

1

3

BC₁，利用相似三角形的比例關(guān)系，即可證得直線與直線平行，再運(yùn)用線面平行的判定定理，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)二面角的定義，在兩個(gè)半平面內(nèi)各找一條直線垂直于二面角的棱，從而找到二面角的平面角，在三角形中求解，即可得到答案；
解法2：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出側(cè)面AA₁B₁B的法向量和向量

GE

，判斷法向量和向量

GE

垂直，即可證得結(jié)論；
（2）求出兩個(gè)半平面的法向量，利用向量的數(shù)量積，求出法向量的夾角的余弦值，再利用法向量的夾角與二面角的平面角之間的關(guān)系，即可求得答案；
（3）利用點(diǎn)到面的距離，向量

BG

構(gòu)造直角三角形，再利用向量

BG

與平面B₁GE的法向量的夾角，在直角三角形中即可求得B到平面B₁GE的距離．

解答：解法1：（1）延長(zhǎng)B₁E交BC于點(diǎn)F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，且BE=

1

2

EC₁，
∴BF=

1

2

B₁C₁=

1

2

BC，
∴點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，
∵G為△ABC的重心，
∴A、G、F三點(diǎn)共線，且

FG

FA

=

FE

FB1

=

1

3

，
∴GE∥AB₁，
又GE?側(cè)面AA₁B₁B，AB₁?側(cè)面AA₁B₁B，
∴GE∥側(cè)面AA₁B₁B；
（2）在側(cè)面AA₁B₁B內(nèi)，過(guò)B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，
∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC，
又側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=

3

，
在底面ABC內(nèi)，過(guò)H作HT⊥AF，垂足為T(mén)，連B₁T，
根據(jù)三垂線定理可得，B₁T⊥AF，
∵平面B₁CE與底面ABC的交線為AF，
∴∠B₁TH為所求二面角的平面角，
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=

3

2

，
在Rt△B₁HT中，tan∠B1TH=

B1H

HT

=

2 3

3

，
故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為

2 3

3

；
解法2：（1）∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，
∴∠A₁AB=60°，
又∵AA₁=AB=2，取AB得中點(diǎn)O，則A₁O⊥底面ABC，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，以{

OC

，

OB

，

OA1

}為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，
則A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0），A₁（0，0，

3

），B₁（0，2，

3

），C₁（

3

，1，

3

），
∵G為△ABC的重心，
∴G（

3

3

，0，0），
∵

BE

=

1

3

BC1

，
∴E（

3

3

，1，

3

3

），
∴

CE

=(0，1，

3

3

)=

1

3

AB1

，
又∵GE?側(cè)面AA₁B₁B，
∴GE∥側(cè)面AA₁B₁B；
（2）設(shè)平面B₁GE的法向量為

n

=(a，b，c)，則由

n • B1E =0 n • GE =0

，可得

3 3 a-b- 2 3 3 c=0 b+ 3 3 c=0

，
取

n

=（

3

，-1，

3

），
又底面ABC的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，1），
設(shè)平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為θ，則cosθ=

m • n

| m || n |

=

21

7

，
∵θ為銳角，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

2 7

7

，
∴tanθ=

2 3

3

；
故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為

2 3

3

；
（3）由（2）可知平面B₁GE的法向量為

n

=（

3

，-1，

3

），

BG

=（

3

3

，-1，0），
d=

| BG • n |

| n |

=

|( 3 3 ，-1，0)•( 3 ，-1， 3 )|

|( 3 ，-1， 3 )|

=

2

7

=

2 7

7

所以點(diǎn)B到平面B₁GE的距離為：

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的判定，二面角的平面角的尋找以及相關(guān)的求解問(wèn)題，點(diǎn)、線、面之間距離的計(jì)算．在求解二面角的時(shí)候，一種方法是找出二面角的平面角，然后在三角形中求解即可，另一種方法是運(yùn)用空間向量，建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解．而點(diǎn)到面的距離的求解，一種方法是運(yùn)用等體積法，另一種是運(yùn)用空間向量進(jìn)行求解．屬于中檔題．